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初二综合测试 1
若a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=0,请说a . b .c 三个数至少有两个数相等
作者:唐慕宁08-04-23 19:45回复此贴
1楼
此题是验证题,例如:A=B,由原式可推出B=C,C=A.
作者:陈老师(736025)08-04-24 08:48回复此贴
2楼
这样的题有一个通法,像题干中含有“至少”、“至多”,一般用反证法。
作者:朱老师(454696)08-04-25 17:19回复此贴
3楼
还有没解呀,看来是在给裴老师留着啦,呵呵!
作者:裴老师(689685)08-04-26 16:38回复此贴
4楼
若a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=0,请说明a、b、c 三个数至少有两个数相等

解题思路:要求证的结论为a=b、b=c和c=a之一成立,
等价于a-b=0、b-c=0和c-a=0之一成立。
联想已知条件为6个三次式的和差形式,结论可进一步等价于
(a-b)(b-c)(c-a)=0。
即可考虑对已知等式的左边分解因式的办法来解题。
具体办法:因为等式左边为3次6项式,目标因式为3次8项式(2×2×2),所以可考虑添项、拆项法分解,即等式左边+abc-abc=0.


解:∵a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)+abc-abc
=(a-b)(c-b)(c-a)=0
∴a-b=0,或c-b=0,或c-a=0,
∴a=b,或b=c,或c=a,
即a、b、c 三个数中至少有两个数相等.(证毕)



作者:裴老师(689685)08-04-26 17:20回复此贴
5楼
今天咱仨人遇一块了.
作者:陈老师(736025)08-04-26 18:17回复此贴
6楼
反证法:
a . b .c 三个数至少有两个数相等的对立面即是这三个数都不相等,即a不等于b不等于c。
原式=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
=a^2(b-c)+b^2(c-a)-c^2[(b-c)+(c-a)]
=(a^2-c^2)(b-c)+(b^2-c^2)(c-a)
=(a-c)(a+c)(b-c)+(b-c)(b+c)(c-a)
=(a-c)(b-c)[(a+c)-(b+c)]
=(a-c)(b-c)(a-b)
又因为a不等于b不等于c,所以原式不等于0,与已知相矛盾。
所以a . b .c 三个数至少有两个数相等。
作者:朱老师(454696)08-05-09 08:54回复此贴
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