若a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=0,请说a . b .c 三个数至少有两个数相等

此题是验证题,例如:A=B,由原式可推出B=C,C=A.

这样的题有一个通法，像题干中含有“至少”、“至多”，一般用反证法。

还有没解呀，看来是在给裴老师留着啦，呵呵！

若a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=0,请说明a、b、c 三个数至少有两个数相等

解题思路：要求证的结论为a=b、b=c和c=a之一成立，
等价于a-b=0、b-c=0和c-a=0之一成立。
联想已知条件为6个三次式的和差形式，结论可进一步等价于
(a-b)(b-c)(c-a)＝0。
即可考虑对已知等式的左边分解因式的办法来解题。
具体办法：因为等式左边为3次6项式，目标因式为3次8项式（2×2×2），所以可考虑添项、拆项法分解，即等式左边＋abc-abc＝0.


解：∵a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
＝a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)＋abc-abc
＝(a-b)(c-b)(c-a)＝0
∴a-b＝0，或c-b＝0，或c-a＝0，
∴a＝b，或b＝c，或c＝a，
即a、b、c 三个数中至少有两个数相等.（证毕）

今天咱仨人遇一块了.

反证法：
a . b .c 三个数至少有两个数相等的对立面即是这三个数都不相等，即a不等于b不等于c。
原式＝a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
＝a^2(b-c)+b^2(c-a)-c^2[(b-c)+(c-a)]
＝(a^2-c^2)(b-c)+(b^2-c^2）(c-a)
＝(a-c)(a+c)(b-c)+(b-c)(b+c)(c-a)
＝(a-c)(b-c)[(a+c)-(b+c)]
＝(a-c)(b-c)(a-b)
又因为a不等于b不等于c，所以原式不等于0，与已知相矛盾。
所以a . b .c 三个数至少有两个数相等。